泰勒级数与泰勒展开式的区别？

一个k次可导的函数都可以有k阶泰勒展开式（我只说带佩亚诺余项的）；但是一个只是k次可导的函数就一定没有泰勒级数了。（比如说，y=sinx+x*|x|，它可以有1阶的泰勒展开y=x+o(x)）即使是无穷可微的函数也不一定能在恰好某一点处展成泰勒级数。比如柯西的反例：f(x)=exp(-x^(-2)).f无穷次可微，在x=0处所有阶导数都为0。f的任意阶泰勒展开都是0多项式。然而f在0点不能写成泰勒级数。因为这个级数和恒等于0，不是原来的f(x)。
泰勒级数是函数展开成有限项的幂级数；泰勒展开式是满足幂级数收敛于f(x)，而将f(x)展开成无限项幂级数的精确表示。

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