阿基里斯悖论的简单证明

关于阿基里斯追龟的问题，我们可以很简单地证明阿基里斯追上了乌龟。我们设乌龟先前所走过的所有的点属于集合B，乌龟现在所在的点标志为b，乌龟所走过的所有的点是集合A，A由集合B中所有的点加上b点构成。只要是乌龟先前所在的点，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的点。那么，我们能不能在集合A中找到一个点，它既不属于B，也不是b，回答是不能的。因而如果阿基里斯走过了集合B中所有的点，阿基里斯与b点的距离就已经是0（如果不是0，则应该在阿基里斯与b点之间还会存在着一个点，但这个点并不存在），也就是说，阿基里斯已经追上了乌龟。而按照我们悖论所设定的条件，阿基里斯是可以走到乌龟先前所走过的所有的点的。因而阿基里斯追到了乌龟。但在上面的分析中，我们发现了一个有趣的矛盾，这就是b既属于B又不属于B，也就是说，b既是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。这样的一个有趣的结论，是决不可能为具有形而上学头脑的那些数学家们所接受的。此悖论假设阿基米斯永远只能到达龟前一个时间段到达的地方，即追上的前一个时间段，此时条件未发生变化，并先承认此时间段两者间仍有差异，然后用不同的时间段进行重复换算，假设条件仍未变化。而在此时间段的下一个口径相同的时间段里，阿基米斯就会追上。相反观点：这证明是错误的。因为证明假设了阿基里斯可以走一个点，在事实上回避了悖论中无法找第1点问题实质。故此证明和悖论无关，只是把小学应用题用集合论复述了一遍。

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