什么是"奇点"?

　　奇点是时空中的一点，在该处时空曲率或其他的物理量都变得无限大。　　大爆炸宇宙论所追溯的宇宙演化的起点。它具有一系列奇异的性质，无限大的物质密度，无限大的压力，无限弯曲的时空等。不少学者证明在广义相对论的宇宙学中，“奇点”是不可避免的，均匀各向同性的宇宙是从“奇点”开始膨胀的。1970年，英国理论物理学家霍金(Stephen Hawking， 1942― )等人提出“奇点定理”，证明当把广义相对论应用于宇宙学时，就必然会出现“奇点”，不仅大尺度宇宙会出现“奇点”，而且一个恒星的引力塌缩的最终结局也是“奇点”。另一些学者认为，广义相对论中“奇点”的不可避免，可能是广义相对论局限性的一种表现。爱因斯坦说：“人们不可假定这些方程对于很高的场密度和物质密度仍然是有效的，也不可下结论说‘膨胀的起始’就必定意味着数学上的奇点。”(《爱因斯坦文集》第1卷)有一种推测认为，宇宙演化的开端，也许就没有“奇点”。例如温伯格(Steven Weinberg， 1933― )说：“宇宙从来就没有真正达到过无限大密度状态。宇宙现在的膨胀可能开始于从前的一次收缩的末尾，当时宇宙的密度达到了一个非常高的，但仍然是有限的密度。”(《最初三分钟》)有关“奇点”所引起的争论，涉及到了因果性、物质的可分性等哲学问题。　　奇点是指时空开始无限弯曲的那一个点[2] 。科学家认为奇点存在于黑洞中央，一个奇点可能自宇宙大爆炸起宇宙如何开始的起点[2] 。比如，在黑洞内部，所有恒星的质量都在狭小的空间内压缩，甚至可能成为一个单一的点[2] 。当代物理学理论认为这个点是无限密集，尽管科学家认为它是因广义相对论和量子力学的不一致而导致物理学崩溃的产物。事实上，科学家怀疑奇点是非常密集，但并非无限密集[2] 。　　空间――时间的具有无限曲率的一点。空间――时间，在该处开始、在该处完结。爱因斯坦说，时间和空间是人们认识的错觉。时间是因为宇宙万事万物的变化，让人们产生了时间的概念。在奇点处，随着宇宙的诞生，开始有了变化，是宇宙的开始。经典广义相对论预言存在奇点，但由于现有理论在该处失效，也就是说不能用定量分析的方法来描述在奇点处有些什么。　　若不可延拓时空中存在一条或一条以上的类时或类光的不完备测地线则称该时空为奇性时空，不完备测地线所趋向的点即为时空奇点。　　作为“宇宙学的奇点”，大多科学家认为它是宇宙产生之初，由爆炸而形成宇宙的那一点。它具有所有物质的势能,而这种势能----正是由大爆炸而转化为宇宙物质的质量和能量,，我们可以想象，奇点是一种没有固定形状的、没有体积的不可思议的存在。作为一个世界的发生之初，它应该具有所有形成宇宙中所有物质的势能，而这种势能----正是我们所言的能量,我们可以想象，能量是一种无形的东西的，所以奇点是无形的。同时我们还可以想象,在某一点上宇宙奇点的这一势能平衡被打破，于是偶然的，能量便不断转换为物质，而经过若干年而形成了我们的宇宙---物质与能量的共生体。它是存在于宇宙形成之前的“第一推动”（虽然宇宙形成之前没有“时间”这一概念）――然而我们不能想象的出的是什么东西引发了这一奇点势能平衡的被破坏。数学上，奇点是没有大小的“几何点”，就是不实际存在。令人难于理解的还有，没有大小的奇点物质竟然是能级无限大的物质。这些是同我们现有的理论和观念不相合的。　　在广义相对论中，对奇点的研究是一个重要的课题，它既是能量条件最早的应用之一，也是全局方法在广义相对论中初试锋芒的范例。在能量条件简介的引言中曾经提到，广义相对论的经典解，比如Schwarzschild 解 - 存在奇异性。这其中有的奇异性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=2m - 可以通过坐标变换予以消除，因而不代表物理上的奇点； 而有的奇异性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=0 - 则是真正的物理奇点。很明显，在奇点研究中，真正的物理奇点才是感兴趣的对象。奇点显然就是那些时空结构具有某种病态性质 (pathological behavior) 的时空点。但稍加推敲，就会发现这种说法存在许多问题。首先，“病态性质”是一个很含糊的概念，究竟什么样的性质是病态性质呢？显然需要予以精确化。其次，广义相对论与其它物理理论有一个很大的差异， 那就是其它物理理论都预先假定了一个背景时空的存在，因此，那些理论如果出现奇点 - 比如电磁理论中点电荷所在处的场强奇点，可以明确标识奇点在背景时空中的位置。但广义相对论描述的是时空本身的性质。因此在广义相对论中一旦出现奇点，往往意味着时空本身的性质无法定义。另一方面，物理时空被定义为带Lorentz 度规的四维流形，它在每一点上都具有良好的性质。因此，物理时空按照定义就是没有奇点的，换句话说， 奇点并不存在于物理时空中。　　既然奇点并不存在于物理时空中，自然就谈不上哪一个时空点是奇点，从而也无法把奇点定义为时空结构具有病态性质的时空点了。但即便如此，象 Schwarzschild 解具有奇异性这样显而易见的事实仍然是无法否认的， 因此关键还在于寻找一个合物理学家们对奇点性质所做的研究还有许多，通过这些例子，对奇点定义所包含的复杂性有了一些初步了解， 它的表述虽然简单，却巧妙地包含了难以完整罗列的种种复杂的时空类型。但另一方面，这个定义虽然已经具有很大的涵盖性，却仍不足以包含所有的奇点类型。这一点也是由 Geroch 指出的，此人在奇点定理的研究中是可以与Hawking 及 Penrose 齐名的非同小可的人物。1968 年，在提出上述反例的同一篇论文中，Geroch 给出了另外一种时空，它是但细致的研究表明，这一描述同样不足以涵盖所有的奇点。1968 年R. P. Geroch 给出了一个共形于Minkowski 时空的时空(R4,Ω2ηab)， 其中共形因子Ω2 具有球对称性，在区域 r>1 恒为1，在 r=0 上满足t2Ω→0 (t→∞)。显然 (请读者自行证明)， 对于这样的时空，类时测地线r=0 沿t→∞ 具有不完备性，因此这个时空流形具有类时测地不完备性。另一方面，所有类光测地线都将穿越区域r≤1 而进入平直时空，因而都是测地完备的。由此可见这一时空具有类时测地不完备性，但不具有类光测地不完备性。这个反例表明奇点并非都能理解为是从时空中被挖去的点 (或点集)。
1974年，年仅32岁的斯蒂芬・霍金发表了黑洞蒸发理论，其实早在4年前28岁时，他就曾经提出过膨胀宇宙的奇点定理：在宇宙的初创期不可避免地存在着奇点。前文讲过，在通常黑洞的中心存在着奇点，在旋转黑洞的赤道上存在着环状的奇点。在介绍黑洞、大爆炸、大塌缩的读物里，‘奇点’这个陌生的名词频频出现。既别扭又难懂，难道就找不到其它的表达方法吗？读者们大概都有这样的抱怨。但是，我们只能原样照搬地使用这个数学名词。所谓奇点，浅显易懂地说（也许笔者的解释并不浅显易懂），是一个非常奇特的点，它存在于黑洞中以及大爆炸的起始点、大塌缩的终结点。前面讲过，在数学上当分数的分子为有限值，而分母变成零时，或者三角函数里的正切函数tanx当x成为90度时的值都是无穷大。当x从89度开始渐渐接近90度时，tanx的值就无限地接近正无穷大；反过来当x从91度开始一点点地变小接近90度时，函数值将无限地接近负无穷大；当x正好是90度时，函数值（的绝对值）为无限大，无法判定其正负。数学上的奇点就是如此奇妙的点。虽然简单地使用了无穷大，但是笔者个人认为这样的数在物理学里是不存在的……人们为了进行加减乘除开平方等各种数学计算，引入了分数、无理数、负数等等，但是无论什么数都不许被零除，在每一所学校里教师都这样严格地教导学生。无穷大只是嘴上说说而已，实际中从不使用。比如：我们说宇宙的大小为150亿光年，尽管极为广阔，但绝不是无穷大。笔者认为，把数学套用到物理的现实世界时，所谓无穷大的数只是不得已而暴露出的不真实的数值。尽管是不真实的数值，如果它能够给我们带来方便的话，用之也无妨。下面举个简单的例子。在物理问题中经常出现‘有个质量为m的点’之类的用词，质点是为了把力学问题简化而设想的非现实的点状物体，常有脑子好用且爱钻牛角尖的学生提出‘那个质点的密度是多大？’的问题，令教师为难，最合适的回答也许是‘不考虑质点的密度’。事实上正是因为所处理的问题不涉及密度，我们才放心地把‘质点’的概念引入力学之中。在物理学里，对于（认真去分析的话）很奇怪的概念，只要我们不是直接地研究它，通常都采取默认的态度，这样的事例很多。当其影响不可避免时，则重新修正我们的思考方式。质点是力学中的约定俗成的概念。当我们分析发生在时空中的电子-光子相互作用时，也会出现刚才说过的无穷大的困难，该困难至今仍未得到完美的解决（或理解）。