关于象棋的一道【奥数】题..头痛的就可以不用来叻....

设共有n个棋手参加比赛。由于每两个人对一局双方得分总和为1分，所以比赛下来总分数为n(n-1)/2 除了那两名选手，其他选手共得分为n(n-1)/2-8，又其他选手的平均分为整数，所以[n(n-1)/2-8]能被(n-2)整除。设 n(n-1)/2-8=k(n-2) 所以n^2-(2k+1)n+4k-16=0 这个关于n的一元二次方程的判别式为4k^2-12k+65=(2k-3)^2+56 若要n是整数，则判别是必须是个完全平方数，即一个奇数的平方加上56后仍是一个奇数的平方。由于两个平方数之间差距的限制（两个连续的完全平方数之间的差为奇数且不断增大），由于(2k-3)^2+56=(2k-3)^2+27+29，所以(2k-3)最大为13，k最大为8。经检验，只有k=4与k=8两种情况时判别式为完全平方数。分别有方程n^2-9n=0与n^2-17n+16=0 由于n大于等于2，且n为奇数，所以n只能为9 所以共有9人参加比赛。
设有n个人比赛，那就有（n-1）n/2场比赛，就会产生（n-1）n/2分。n必须是奇数。其中2人得的分的和为8分。则至少每人有4比赛以上。而其余的平均分为整数。就是说[（n-1）n/2-8]/（n-2）是个整数。[（n-1）n/2-8]/（n-2）=（n^2-n-16）/2（n-2）因为n^2-n-16必然是一个偶数，所以必然能被2整除。所以只要算（n^2-n-16）/（n-2）是整数的时候n是多少就可以了。（n^2-n-16）=（n-2）*（n+1）-14。所以14必然也能被n-2整除。当n-2=1或者7的时候都能整除10。所以n=3或者9。而每人必须至少进行4场比赛，所以只有9是正确的。

文章标签：

来自：元与均棋

本文链接：https://www.u1e.cn/baike/a/7048d615d921854aa17bd908 [复制]