悬赏十万马克求解的数学问题？

在1908年德国一个对数学爱好的富翁保罗�6�1乌斯克（PaulWolfskehl）把他的财产的一部分拨出来悬赏求解一个数学问题。这问题提出快要300年了，数学家们曾梦想解决它，可是还没有人成功。保罗的奖金不算少――足足十万马克！他的条件是：在公元2007年之前，第一个给出这个问题的正确解答的人，就能领这笔巨大的奖金。 在前面《希腊邮票上的数学定理》一文里，我们介绍了关于商高定理的一些问题。我们现在把商高定理的勾、股、弦，分别用英文字母x，y，z来表示，整个定理就可以写成一个代数式子，x2＋y2＝z2。 我们知道能满足这个式子的正整数有很多，比方说x＝3，y＝4，z=5以及它们的倍数都是这式子的解。 是否能找到这式子的所有的整数解呢？在公元600年时印度数学家巴拿马古达（Brahmagupta）给出了这个问题的解：这式子的所有有理整数解是可以用x=m2－n2，y=2mn，z=m2＋n2给出，这里m和n是任意的整数。 很早以前，人们就对下面一个几何问题产生兴趣：是否能构造一个具有整数边的正方立体，它的体积是等于二个较小的也是具有整数边的正立方体的体积和？ 这个问题可以转变成代数问题来看：是否这样的代数式x3＋y3＝z3有正整数解？ 人们用“尝试和错误”（Trial and error）的方法，费尽了九牛二虎之力，还是找不到最小的答案。人们猜想很可能这式子是找不到整数解，可是怎样证明呢？在公元900年左右，阿拉伯的数学家认为这式子对正整数无解，而且给了一个证明，很可惜后来人们发现这证明不严格，犯了错误。正确的证明要700年以后才出现。 像求方程x2＋y2=z2和x3＋y3=z3是否有整数解，在数学上是一门很深和有趣的部门。数学家称呼这一类代数方程为不定方程，因为它们的解，可能是有无穷，可能有限，甚至无解，没有一定，而且也没有固定的方法来解所有的不定方程。 它们有时也被人称为丢番图方程式（Diophantine equation）。为什么这样称呼呢？原来丢番图（Diophanmtus）是公元3世纪时在埃及阿历山大城（Alaxandria）的希腊数学家，他写了一本称为“算术”的书，里面记载了对一些数学问题的研究。如像下面这样的问题：“有一个农夫用一百元去买一百只的牛、羊、猪。已经知道一头牛价十元，一只羊价三元，猪一头是五角，问他买多少只、头羊、猪和牛？”这样的问题写成代数式子就是不定方程。因为他最早较有系统的研究这些问题，所以后来的人为了纪念他就称这类方程为丢番图方程式。 问题的提出者 话说在300年前的法国的Toulouse城，有一个地方议会的议员名叫费马（Pierre Fermat 1601―1665）。这人是律师出身，闲来无事不喜欢莺歌燕语，或者作围城之战，或者信步在庭院里练武。可以说是一个喜欢安静生活，不想追逐权利，淡泊功名的人。他懂几种外国语文，有时就用希腊、拉丁或者西班牙文写写诗词自我朗诵消遣。 但是他最喜欢的玩意儿是搞数学和作一点科学研究，有时他把所得到的结果写信给在远方有同样兴趣的朋友，有时就把自己的心得写在数学书的空白处。当时还没有出现数学杂志可以让他发表他的研究心得。 在1621年时，丢番图的那本“算术”书从希腊文翻译成法文在法国出版，费马买到了这书后，对于数论的问题开始发生了兴趣。在公余之后，就对一些希腊数学家的问题研究和推广。 在丢番图的书里有一部分是讨论x2＋y2=z2的整数解的问题。费马在这部份的底页上，写了几行字：“相反地，要把一个立方数分为两个立方数，一个四次方数分为两个四次方数。一般地，把一个大于2次方的乘方数分为同样指数的两个乘方数，都是不可能的；我确实发现了这个奇妙的证明，因为这里的篇幅不够，我不能够写在这个底页上。” 好，我们现在把这段文字用代数方程写下来，看看是什么样子： 方程xn＋yn=zn对于不等于零的正整数x，y，z，当n大于2时，是没有解的。 这个结果数学家称为费马大定理或者费马最后定理（Fermat’s Last Theorem）。在数学中一个命题当人们可以证明它是对的被称为定理。可是以上的命题到现在三百多年了，没有人证明它是对或者错，而叫着“费马大定理”这的确是奇怪的地方。 我们提到的德国富翁保罗�6�1乌斯克所提的高价求解的问题就是这个问题：费马定理是对呢还是错？
费马猜想来源于法国数学家费马1637年校订希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题：将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。1908年哥廷根皇家科学会悬赏10万马克（当时值200万美元）期限定为100年（至2007年）征求对费马猜想的证明。