截长补短法的用法例题

例1：正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF。证明：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。∵ABCD是正方形∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴ADG≌ABF（SAS）∴∠GAD=∠FAB，AG=AF∵ABCD是正方形∴∠DAB=90°=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE例2：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。∵∠5和∠6是对顶角∴∠5=∠6∵E是CD的中点∴DE=EC∵AD∥BC∴∠1=∠F∴△AED≌△CEF（AAS)∴AD=CF，AE=EF∴AB=AD+BC=CF+BC=BF∴△ABF是等腰三角形且AF为底边又∵AE=EF且点E在线段AF上∴BE⊥AF∴∠AEB=90°例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。证明：在AC上截取AE=AB，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2又∵AD=AD，AB=AE∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=DE，∠B=∠3又∵∠B=2∠C∴∠3=2∠C又∵∠3=∠4+∠C∴2∠C=∠4+∠C即∠C=∠4∴DE=CE∴BD=CE∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求证：CD=CB。证明：在AB上找一点E，使AE=AD，连接CE∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC又∵AE=AD，AC=AC∴△ACD≌△ACE(SAS)∴∠ADC=∠AEC，CD=CE∵∠ADC=∠AEC∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°∵∠CEB+∠AEC=180°∴∠B=∠CEB∴CE=CB∴CD=CB