勾股定理是什么？

勾股定理是几何学中的明珠之一。它是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理。在从古巴比伦至今的悠悠4000年的历史长河里，它的身影若隐若现。许多重要的数学、物理理论中都能发现它的踪迹，甚至连邮票、诗歌、散文、音乐剧中也能看到它的身影。
千百年来，对勾股定理进行证明的人有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人论证。在一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑里，收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是任何其他定理无法企及的。
在数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。据说勾股定理的两个最为精彩的证明，分别来源于中国和希腊。
在我国，人们称它为勾股定理或商高定理。
商高是公元前11世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
周公问商高：天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？
商高说：那要用“勾三股四弦五”。
那么什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯是古希腊数学家。希腊另一位数学家欧几里得在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。又据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，杀牛百只以示庆贺，因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
勾股定理

勾股定理的公式是什么